•教学背景

模型思想和应用意识主要是指有意识地利用数学概念、原理和方法解决实际问题；根据具体问题，抽象出数学问题，将问题中的数量关系、位置关系和变化规律用方程（组）、不等式、函数、几何图形、统计图表等进行表示，求出并检验结果，验证模型的合理性。

有效渗透数学模型思想，能够帮助学生积淀从现实问题中抽象出数学本质的过程性经验，让学生体验数学模型的建立过程，重视模型的应用，提高学生解决实际问题的能力和创新能力。本节课为复习课，　学生已经在初二下学期和初三上学期学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于函数的研究具备一定经验，会应用方程模型、不等式模型解决简单的实际问题，具有初步的模型意识。

•教学实录

环节1：情境创设

内容：视频资源学习

师：请大家自行观看已经下载的3个小视频，并谈一谈自己的感受……谁愿意分享一下？

生1：视频中都是我们日常生活中的常见问题。

生2：里面都蕴含了数学知识。

生3：数学在日常生活中有许多应用。

师：大家总结得非常棒！我们的数学学科本就源自数千年前人们的生产实践，自古以来就与人们的日常生活密不可分。今天，数学的应用更是深入到社会的方方面面。这节课我们一起利用所学的数学知识解决实际问题，并总结方法和经验，现在请同学们打开学案。

环节2：自我构建（1）：我来当老板

例1：已知某展板制作商生产了一种成本为20元/个的小展板，经过调查，销售单价和展板的每天销售量之间满足表1的关系。

问题解决（1）：当销售单价定为多少时，每天获得的总利润最大，最大利润是多少？问题解决（2）：若市场规定此种小展板的销售单价不能超过40元，则销售单价定为多少时，每天获得的总利润最大，最大利润为多少？问题解决（3）：若希望该展板每天的销售利润不低于5000元，试确定销售单价的范围。

师：假如你是展板制作商，请同学们对例1的第（1）问进行分析，通过对此实际问题的思考，你有什么样的想法和解决思路？

生1：这道题问的是销售利润以及对应的销售单价，所以可以求这两个量之间的关系。

生2：我们可以借助“函数”知识来解决。

师：非常好！你是怎么想到“函数”的呢？

生2：因为我看到了题目中的“销售单价”和“每天的销售量”是两个变量，而“销售利润”可以用这两个量表示，因此想到了我们之前学过的“二次函数”。

师：请大家根据这种思路尝试解决第（1）问，并在组内进行分享，请这位同学进行板书。

生2：首先我们根据问题，设销售单价为x元，销售利润为y元。根据表格中的数据，我们可以求出每天的销售量与销售单价x之间的函数关系式为a=-10x+800，则销售利润y=(x-20)(-10x+800)=-10x2+1000x-16000，我们可以发现这是一个二次函数，则可以利用“求二次函数最大值”的知识来求“销售利润的最大值”，第（1）问就解决了。

师：讲解得非常有条理，谁还有什么补充吗？

生3：我们在求每天的销售量与销售单价x之间的函数关系式的时候，要先判断函数类型，再设解析式。

师：非常棒！那么老师的问题来了，大家有什么样的方法判断一组数据所满足的函数类型？

生1：描点作图是一条直线，所以满足一次函数关系。

生4：观察数据特点是线性增长的，所以猜想它们满足一次函数关系。

师：特别好！还有其他补充吗？

生3：我们在求出函数关系式之后，还需要关注自变量的取值范围，因为这是实际问题。

师：提醒得非常关键。这样的话，我们这个解决问题的过程才完整。下面，请大家继续思考第（2）问和第（3）问。

生5：第（2）问规定了销售单价不能超过40元，仍然求总利润的最大值，相当于求当20

生6：第（3）问要求每天的销售利润不低于5000元，就相当于求当y≥5000时，x的取值范围。我们可以先求当y=5000时所对应的x值，再结合图像确定x的取值范围。

环节3：课堂小结

师：我们一起总结一下“利用函数模型解决实际问题”的一般步骤。

生1：当我们遇到的实际问题涉及两个变量之间的关系时，可以考虑构造函数模型进行解决。

生2：首先需要判断函数类型，接下来设函数解析式，利用待定系数法求出函数的解析式，我们就可以借助函数的图像和性质来进行问题解决了。

环节4：自我构建（2）：我来当交警

例2：行驶中的汽车，在刹车之后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离称为“刹车距离”。为了测定某种型号汽车的刹车性能（根据规定：车速不超过140千米/小时），对这种汽车进行测试，测得数据见表2。

问题解决（1）：若小王驾驶该型号的汽车刹车时速为70千米/小时，请你估计他的刹车距离为    ，估计理由为    。

问题解决（2）：已知该型号的汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得的刹车距离约为44米，请你判断事故发生时，该汽车是否超速行驶？请进行合理的解释。

师：如果你是交警，请根据在例1中收获的经验，尝试完成例2的分析和解决办法。

生1：第（1）问可以根据表格中的数据变化趋势进行估计，分享估计的结果和理由。

生2：第（1）问也可以求出刹车距离与刹车时速之间的函数关系式，然后再进行求解，分享估计的结果和理由。

师：很好。类似于第（1）问这样的问题，我们可以直接根据数据的变化趋势进行合理预测，考查我们数据分析的观念。那么第（2）问呢？

生3：由于第（2）问直接从表格中的数据进行推断比较困难，所以我们可以借助函数模型进行求解。

生4：通过描点作图，发现两个变量近似满足二次函数关系，我们可以借助二次函数的知识进行解决和判断。

师：通过同学们的分析，能够看到大家已经基本掌握了“利用函数模型解决实际问题”的一般步骤。下面请大家思考：题中给出的这两个变量一定是满足我们所求的函数关系吗？我们求出的结果是精确的吗？

生5：两个变量所满足的函数关系不一定是唯一的，我们给出的函数关系应该是一种合理的猜想。

师：非常好！我们可以体会到“近似”与“精确”的相对统一。另外，在一些问题中，我们还需要将建立的模型得出的结果进行验证和取舍。

［分析］环节4属于方法的验证。通过对例1的充分思考、交流，提出了研究问题的方法，利用例2来验证这种方法的科学性；通过例1和例2两种不同函数模型的建立，更深入地理解“函数”的本质；通过例2对这种建模方式进行更深入的探讨，感受“近似”与“精确”的相对统一。

环节5：思维拓展：我是节约小能手

例3……

师：请同学们阅读例3给出的材料，并分析与例1、例2的异同……

环节6：课堂总结

师：请同学们首先完成课堂反馈小测，然后打开电脑，进入UMU平台，填写本节课的学习收获和总结。

反馈小测：当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）与气体体积V（单位：m3）的关系如表3所示。

请判断当P=6kPa时，V=      。

UMU平台反馈：我们通过这节课的学习，对解决实际问题有什么样的收获？

［分析］让学生自己总结一节课的收获，真正体现出学生是学习的主体，同时也让教师对本节课的教学进行反思。另外，学生可以通过UMU平台看到其他人的总结，相互学习。

•教学反思

纵观近两年北京市中考，数学有几大特点：以学习过程为载体，考查解决实际问题过程中对所学知识、方法的理解和应用，对数学思想的感悟与认知；体现“问题”意识，将发现问题、提出问题能力的考查与分析、解决问题能力并重，从而将“学数学”与“用数学”紧密结合在一起。

本节课是初三年级的一节专题复习课，旨在引导学生用函数模型解决实际问题。因此教学设计非常贴近实际生活，如利润问题、交通问题。在教学方面主要采用启发引导、分享交流的形式，并将“1对1学习技术”融合到课堂教学环节中，提升了课堂效率。

本节课基本达成了预设的目标，学生们体会并熟悉了这类问题的解题思路，但也有一些不足，比如教学内容偏多，学生独立思考时间较少；反馈环节仓促，学生未能充分总结和分享收获等。随后的教学中，这些问题还需要进一步调整改进，更大限度地体现学生主体，让课堂在新技术助力下更开放、更高效。

（作者单位系中国人民大学附属中学西山学校）